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  1. 2013.07.07 [세계 7대 수학난제] 1. 리만 가설(The Riemann Hypothesis)(1)
  

안녕하세요? 돌토리입니다. 세계 7대 수학난제 중에 아마 가장 유명한 것은 바로 리만 가설일 것입니다. 번호는 크게 의미는 없지만, 중요하면서도 그래도 접근하기 쉬운 리만 가설을 1번으로 먼저 다루어 보겠습니다. 저도 배우는 마음으로 지금까지 알고 있던 지식들을 여러 책과 인터넷을 찾아가며 기록하였습니다.

 

(1) 리만 가설이란?

 

 

리만 가설이란 당연히 리만이 제기한 것으로 소수들이 어떤 규칙을 가지고 있을까에 대한 질문에서 비롯되었습니다. 소수란 1과 자신으로만 나누어 떨어지는 수를 말하는데, 2부터 시작하여 3, 5, 7, 11 등으로 이루어진 수입니다. 많은 수학자들이 이 소수들의 규칙을 발견하려고 하였으나 번번히 실패하였습니다. 소수란 겉보기에는 이해하기 쉬운 것 같은데, 왜 파고들면 들수록 어려워 지는가? 리만 가설을 본격적으로 파헤쳐보기 전에 먼저 여러 각도로 소수에 대해 생각해 보겠습니다.

 

(2) 정수론

 

수학에서는 대수학의 한 분야로 정수론이 있습니다. 정수란 초등학교 수학책에 처음 나오는 것으로서 생각해보면 매우 이해하기 쉽다고 할 수 있습니다. 그러나 수학에서는 정수론이라는 이론이 따로 분리되어 나올정도로 심도 있는 분야입니다. 일단 정수란 자연수, 0, 음의 정수로 이루어져 있는데, 자연수와 0만 제대로 해석할 수 있다면 음의 정수는 자연수에 마이너스만 붙인 것이므로 음의 정수 해석은 자연스럽게 따라온다고 할 수 있습니다. 그렇다면 정수론에서 중요한 것은 자연수가 됩니다. 그런데 자연수란 소인수분해에 의해 소수들의 거듭제곱으로 표현할 수가 있다는 것입니다. 예를 몇 가지 들어보죠.

 

 

소인수분해는 중학교 1학년 수학책에 나옵니다. 이 방법으로 모든 자연수는 단 한가지의 소수들의 거듭제곱으로 표현할 수 있게 됩니다. 다시 말하면, 소수들의 거듭제곱의 형태만 알면 어떤 자연수에 대해 특정할 수 있다는 것입니다. 소수에 대해 알게되면 자연수에 대해 알게되는 것이고 더 나아가 음의 정수까지 해석할 수 있게 된다는 것입니다. 그러므로 소수에 대한 해석은 정수론의 핵심을 해석하는 것과 같다고 할 수 있습니다. 결국 리만 가설은 소수에 대한 이해에서부터 시작되므로 이제부터는 소수에 대한 여러가지 이야기들을 늘어놓도록 해 보겠습니다.  

 

(3) 소수의 무한성 정리

 

여기서는 유클리드가 증명한 직관적으로도 알기 쉬운 증명을 사용하도록 하겠습니다. 증명은 고1 때 배운 귀류법을 이용해 증명하겠습니다.

 

1. 먼저 소수가 유한하다고 가정하겠습니다. 그러면 2부터 시작해서 n개의 소수가 있을 것입니다. 그것을 이라고 하겠습니다.

 

2. 이 소수를 다 곱한다음 1을 더한 까지 어느 수로도 나누어 떨어지지 않습니다. 왜냐하면 전부 나머지가 1이기 되기 때문입니다.

 

3. 이 새로운 수는 소수이거나 소수가 아닌 합성수(합성수란 1과 자신 이외의 수를 약수로 가지는 자연수로 간단히 말하자면 약수가 3개 이상인 수를 말합니다.)라면 다른 소수로 나누어 질 것입니다. 그런데 이 수가 소수라면 이런 식으로 계속 소수를 생성할 수 있으므로 소수가 유한하다는 가정에 모순이고 다른 소수로 나누어 진다라고 한다면 n개의 정해진 소수 외에 또 다른 소수가 있다는 말이므로 역시 가정에 모순이 됩니다.

 

4. 그러므로 소수가 유한하다는 가정은 모순이 되고, 결국 소수는 무한하다는 결론에 이르게 됩니다.

 

(4) 소수 정리(Prime Number Theorem)

 

소수 정리란 자연수가 계속 커질 때, 그 안에 들어있는 소수의 갯수가 근사적으로 어떻게 되는지에 대한 정리입니다. 아다마르와 푸생이 각각 증명하였습니다. 기본적으로 소수는 불규칙하게 나타나는데, 갯수라도 근사적으로 추측할 수 있다는 점에서 소수의 해석에 대해서 매우 획기적인 정리라고 할 수 있습니다. 그럼 소수 정리에 대해 살펴보겠습니다.

 

1. 일단 자연수 n을 넘지 않는 소수의 갯수를 π(n)이라고 하겠습니다. 소수 정리란 다음과 같은 식을 만족하는 것을 말합니다.

 

 

물결 2개 표시는 거의 같음 또는 근사한다는 뜻입니다. π(n)에 대한 이해를 돕기 위해 몇 가지 예를 들어보겠습니다.

 

 

2. 기본적으로 소수가 나타나는 규칙은 생각하기 어렵습니다. π(n)을 아무리 봐도 무언가 규칙이 있을 것이라고 생각할 수 없는데, 이 정리를 통해 소수의 분포에 대해서도 어느정도 예측할 수 있게 되었습니다.

 

(5) 결론

 

아직 소수에 대한 이야기는 더 해야할 것 같습니다. 소수에 대한 이해가 깊어질수록 리만 가설에 대해 더욱 접근하는 것이거든요. 다음번에는 RSA 암호체계와 골드바흐의 추측 등 소수에 대한 여러가지 이야기, 두 번째 시간을 가지도록 하겠습니다.

 

글쓴사람 돌토리

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